Veloelektro.ru

Все, что нужно и полезно знать об инструментах
8 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Разрезать квадрат 2 разрезами на 4 треугольника

Разбиение на подобные треугольники

Как разбить треугольник на подобные ему треугольники? 1 Сколько треугольников можно получить при таких разбиениях?

Разбиения равностороннего треугольника на равносторонние: от 4 до бесконечности

Очень легко разбить любой равносторонний треугольник на 4 равных равносторонних треугольника, соединив отрезками середины его сторон, то есть проведя средние линии (рис. 1, а).

Продолжая разбивать этим же способом получающиеся части, мы сможем разделить исходный треугольник на 7, 10, 13, . равносторонних треугольников, и вообще, на любое их число вида 3k + 1 (где k — натуральное). Отметим, что среди треугольников разбиения обязательно будут равные.

Рис. 1. Равносторонний треугольник разбит на 4 равных равносторонних треугольника; треугольник Серпинского («Квантик» №7, 2020)

Рисунок Марии Усеиновой («Квантик» №7, 2020)

Аналогично строится одна из самоподобных фигур — треугольник Серпинского (такие фигуры называются фракталами). В равностороннем треугольнике проводятся средние линии и «вынимается» средний из четырёх получившихся треугольников. Этот процесс повторяется в каждом из трёх остальных треугольников и т. д., до бесконечности. Итоговая фигура (рис. 1, б) имеет ту же форму, что и её части.

А если делить стороны равностороннего треугольника не на 2 равные части, а на 3, 4 и т. д.? Тогда можно разбить его на 9, 16, . равных равносторонних треугольников (рис. 2, а, б). Ведь если поделить одну из сторон на n равных частей, то сторона маленького треугольника будет в n раз меньше стороны исходного, а площадь тогда — в n 2 раз меньше. Это и значит, что в разбиении будет n 2 треугольников. Кстати, их можно было подсчитать и по «слоям»: в верхнем слое — один треугольник, в следующем — 3, в последующем — 5, . в самом нижнем слое будет 2n − 1 треугольников. Попутно мы доказали геометрически, что 1 + 3 + . + (2n − 1) = n 2 .

Рис. 2. Треугольник, разбитый на несколько равносторонних треугольников («Квантик» №7, 2020)

Обобщаем на произвольные треугольники

Всё сказанное выше легко обобщить на случай произвольного треугольника, проводя три семейства параллельных прямых (в каждом семействе прямые параллельны одной стороне и делят каждую из двух других сторон на n равных частей). Теперь несложно понять, как разбить любой треугольник на n ему подобных, где n > 5. Разбиение на 6 треугольников, подобных исходному, получается, если сделать чертёж, аналогичный рисунку 2, а, и стереть лишние линии (рис. 3, а). Разбиение на 8 подобных (рис. 3, б) получается из рисунка 2, б, и т. д., для любых чётных n, больших 5. Если же n — нечётное, то после стирания надо сделать ещё один шаг: разбить «верхний» треугольник средними линиями на четыре равных. На рисунке 3, в показано такое разбиение на 11 треугольников.

Рис. 3. Треугольники, разбитые на несколько треугольников («Квантик» №7, 2020)

А вот на 2, 3 или 5 треугольников, подобных исходному, можно разбить не любой треугольник.

Прямоугольные треугольники

Выясним, какой треугольник можно разбить на два ему подобных. Пусть отрезок CD делит треугольник АВС на два ему подобных: ACD и BCD. Если ∠ САD = α, ∠ AСD = β, то ∠ BDС = α + β (рис. 4, а). Тогда в треугольнике ACD должен быть угол α + β, и это может быть только угол ADС. Значит, ∠ АDС = ∠ ВDС = α + β = 90°. Тогда исходный треугольник тоже прямоугольный, и ∠ AСВ = 90°.

Так как α + β = 90°, то ∠ DCB = α, ∠ АВС = β, и треугольники ACD и BCD подобны треугольнику АВС (рис. 4, б).

Рис. 4. Треугольники, разбитые на несколько треугольников («Квантик» №7, 2020)

Проведя в любом из полученных треугольников высоту из вершины D, мы разобьём треугольник АВС на три треугольника, ему подобных. Продолжая этот процесс, можно разбить прямоугольный треугольник на любое количество ему подобных. А можно ли сделать эти треугольники равными? Иногда можно.

Читайте так же:
Насадки на дрель, шуруповерт и болгарку для полировки авто — виды и их выбор

Так, если прямоугольный треугольник АВС — ещё и равнобедренный, высота CD разбивает его на 2 равных прямоугольных равнобедренных треугольника, подобных ABC, а их высоты, проведённые из вершины D, дают уже 4. Продолжая, можно разбить прямоугольный равнобедренный треугольник на 2 n равных треугольников, подобных ему (n — любое натуральное).

Рис. 5. Треугольник, разбитый на несколько треугольников («Квантик» №7, 2020)

Но этот случай — не единственный. Пусть длины катетов прямоугольного треугольника равны целым числам m и k, тогда его можно разбить на m 2 + k 2 равных треугольников, подобных ему. Для этого проведём высоту из вершины прямого угла и разобьём один получившийся треугольник на m 2 , а другой — на k 2 равных треугольников, как на рисунке 2. Полученные маленькие прямоугольные треугольники двух видов равны (по гипотенузе и острому углу) и подобны исходному. На рисунке 5 — пример разбиения треугольника с катетами 5 и 7 на 74 = 5 2 + 7 2 равных треугольника.

Разбиения на различные подобные треугольники

А какой треугольник можно разбить на треугольники, ему подобные, среди которых не будет равных? Оказывается, любой неравносторонний. Перед тем как объяснить решение, напомним, что в подобных треугольниках равны отношения соответствующих сторон. Построить искомое разбиение поможет обобщённая теорема Фалеса: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Рассмотрим треугольник АВС, в котором BC / AC = k > 1. Приложим к треугольнику ABC треугольники 1, 2, 3, 4 и 5 (рис. 6). Получим треугольник, разбитый на 6 неравных подобных треугольников.

Рис. 6. Треугольник, разбитый на несколько треугольников («Квантик» №7, 2020)

Треугольники ABC, 1, 2, 3, 4 все различны, так как каждый следующий в k раз больше предыдущего.

Но треугольники 4 и 5 могут оказаться равными, если k + k 3 = k 4 . Тогда достроим треугольники 6 и 7, а треугольник 5 заменим треугольником 8. Треугольники 7 и 8 не равны, так как k 6 ≠ k + k 3 + k 5 . Ведь если k + k 3 = k 4 , то k 6 = k 2 (k + k 3 ) = k 3 + k 5 < k + k 3 + k 5 .

Вместо заключения

Какие треугольники разрезаются на 5 подобных, до конца неизвестно, см. статью Б. Френкина «О разрезании треугольника на подобные ему» («Квант» № 4 за 2008 г.). Развитие темы для многоугольников см. в книге М. Гарднера «Математические досуги» (Мир, 2000; гл. 24: «Делящиеся» фигуры на плоскости).

Художник Мария Усеинова

Задачи для самостоятельного решения

Рисунок Марии Усеиновой («Квантик» №7, 2020)

1. Можно ли какой-нибудь треугольник разбить на три равных треугольника, подобных исходному?

2. Можно ли разбить на пять треугольников, подобных исходному, какой-нибудь: а) прямоугольный треугольник; б) (С. Маркелов) непрямоугольный треугольник?

3. (Т. Емельянова) Разрежьте неравносторонний треугольник на четыре подобных треугольника, среди которых не все между собой равны.

4. (А. Галочкин) Бумажный треугольник с углами 20°, 20°, 140° разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?

5. (Д. Шноль) Каждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей первого подобна одной из частей второго. Обязательно ли подобны оставшиеся части?

6. (М. Панов) Можно ли равносторонний треугольник разбить на 5 равнобедренных, но попарно не подобных?

1 Два треугольника подобны, если углы одного соответственно равны углам другого (достаточно соответствующего равенства двух углов).

На сложенном листе бумаги сделай один прямой разрез

На сложенном 2 раза листе бумаги сделай один прямой разрез, чтобы получить:

Получение 3-х прямоугольников

Начнем с того, что получим 3 прямоугольника.

Шаг 1. Возьмем лист бумаги.

Шаг 1

Шаг 2. Свернем его пополам.

Шаг 2

Шаг 3. Затем свернем лист еще раз пополам.

Шаг 3

Шаг 4. Нанесем линию разреза.

Шаг 5. Сделаем один разрез по нанесенной линии.

Читайте так же:
Круг для заточки цепей бензопил

Шаг 5

Шаг 6. Развернем листы и получим 3 прямоугольника.

3 прямоугольника

Получили 3 прямоугольника

Получение 4 треугольников и 1 восьмиугольника

Рассмотрим по шагам как получить 4 треугольника и 1 восьмиугольник.

Шаг 1. Возьмем лист бумаги.

Шаг 1

Шаг 2. Согнем его пополам.

Шаг 2

Шаг 3. Еще раз согнем лист пополам.

Шаг 3

Шаг 4. Нанесем линию разреза на получившийся квадрат.

Шаг 5. Сделаем один разрез по нанесенной линии разреза.

Шаг 6. Развернем листы и получим 1 восьмиугольник и 4 треугольника.

4 треугольника и 1 восьмиугольник

4 треугольника и 1 восьмиугольник

Получение 1 десятиугольника и 2 треугольников

Распишем по шагам последовательность действий, благодаря которым можно получить 1 десятиугольник и 2 треугольника.
Шаг 1. Возьмем лист бумаги.


Шаг 2. Свернем лист пополам.


Шаг 3. Снова свернем лист пополам.


Шаг 4. Нанесем линию разреза на получившийся квадрат.

Шаг 5. Сделаем один разрез по нанесенной ранее линии.

Шаг 6. Развернем части нашего листа и получим 1 десятиугольник и 2 треугольника.

Получение 1 шестиугольника и 2 треугольников

Шаг 1. Возьмем лист бумаги.

Шаг 2. Свернем лист пополам.


Шаг 3. Снова свернем лист пополам.


Шаг 4. Нанесем линию разреза на получившийся квадрат.


Шаг 5. Сделаем один разрез по нанесенной ранее линии.


Шаг 6. Развернем части нашего листа и получим 1 шестиугольник и 2 треугольника.

Разрезать прямоугольник двумя разрезами на 3 прямоугольника

В умелых руках любознательного человека самый обыкновенный, хорошо всем знакомый квадрат становится удивительной геометрической фигурой.

Он может, например весь без остатка превратиться в другую фигуру или в несколько других фигур правильной или неправильной формы. Но для каждого превращения квадрат предварительно должен быть разрезан на определенные части.

Очень остроумно разрезал квадрат еще несколько тысяч лет назад китайский ученый Та-нг.

Вероятно, эти части квадрата первоначально служили для демонстрации геометрических фигур. В самом деле, из частей данного квадрата легко можно составить прямоугольник, параллелограмм, трапецию.

С течением времени было замечено, что из этих частей можно составить множество фигур-силуэтов самой причудливой формы, употребляя для составления каждой фигуры все семь частей квадрата. Так создалась увлекательная игра головоломка. получившая широкое распространение, в особенности на своей родине. в Китае. Там эта игра известна так широко, как, например, у нас шахматы. Устраиваются даже специальные состязания на составление наибольшего количества фигур с наименьшей затратой времени. Победители получают специальные призы.

Меня заинтересовала эта идея, и я тоже попробовал создать различные картинки. силуэты из предложенных частей квадрата. Так состоялось мое первое знакомство с превращением квадрата. (Приложение)

Однажды мне на глаза попалась головоломка, где из семи частей квадрата предлагалось составить три одинаковых квадрата.

Квадрат из головоломки очень похож на механизм с хорошо прилаженными частями, которые можно разобрать и из тех же частей собрать новый механизм. Дл того. Чтобы из готовых частей квадрата составить указанные геометрические фигуры, не нужны какие. либо расчеты и построения, достаточно проявить настойчивость, терпение, смекалку и решение находится.

Складывая фигуры из частей данной головоломки, я увидел, что можно получить не только три одинаковых квадрата, но и прямоугольник, составленный из этих квадратов.

Однако, для тех, кто увлечен математикой, не достаточно только складывать многоугольники из готовых частей квадрата, а хочется самому научиться разрезать квадрат на части, необходимые для составления той или иной фигуры. Иными словами. дать обоснование возможности превращения фигур. На языке геометрии это значит: найти те геометрические построения, при помощи которых разрезается квадрат, и доказать, что из полученных частей может быть составлена требуемая фигура. Такая постановка вопроса сразу превращает нашу головоломку в более интересную, но и более трудную геометрическую задачу на фигур.

Читайте так же:
Двухрядный окучник для мотоблока своими руками

Сформулируем задание головоломки как геометрическую задачу:

Показать, каким образом нужно разделить данный квадрат прямоугольными разрезами, чтобы переложением полученных частей можно было составить три сплошных квадрата, равных между собой.

Здесь ничего не сказано о том, на сколько частей можно резать данный квадрат, а значит можно получить различные решения одной и той же задачи на перекраивание фигуры. Таким образом, при решении подобного рода задач открывается широкая возможность проявления геометрической интуиции.

разрезать, прямоугольник, разрез

Хочется заметить, что задачами превращений одной фигуры в другую путем переложения разрезанных частей занимались еще в древние времена. Один из самых замечательных арабских математиков Абул Вефа, живший в 10 веке, целый ряд вопросов, относящихся к геометрическому превращению фигур. На одном из собраний геометров и практиков Абул Вефе была предложена как раз наша обратная задача: составить квадрат из трех равных квадратов.

Познакомимся с тем решением, которое дал Абул Вефа. Он разрезал квадраты 1 и 2 по диагоналям и каждую из половинок приложил к квадрату 3, как показано на рисунке.

Разрежьте правильно на части

Как данный прямоугольник следует разрезать на две такие части, чтобы из них можно было сложить: 1) треугольник, 2) параллелограмм (отличный от прямоугольника), 3) трапецию?

Дан прямоугольник, основание которого в два раза больше высоты. 1) Как нужно разрезать данный прямоугольник на две части, чтобы из них можно было составить равнобедренный треугольник? 2) Как нужно разрезать данный прямоугольник на три части, из которых можно было бы составить квадрат?

Как можно равносторонний треугольник разрезать на: 1) два равных треугольника; 2) три равных треугольника; 3) четыре равных треугольника; 4) шесть равных треугольников; 5) восемь; 6) двенадцать?

ЕГЭ БАЗА Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника

разрезать, прямоугольник, разрез

Даны два равных квадрата. Как разрезать каждый из них на две части так, чтобы из получившихся частей можно было сложить квадрат?

Как данный прямоугольник двумя прямолинейными разрезами разбить на два равных пятиугольника и два равных прямоугольных треугольника?

Даны два неравных квадрата. Как их следует разрезать на такие части, чтобы из них можно было сложить третий квадрат? Как выражается длина стороны третьего квадрата через длины сторон двух данных?

Прямоугольная плитка шоколада состоит из mn единичных квадратных долек. Сколько разломов нужно сделать (одновременно ломается один кусок), чтобы разломить эту плитку на единичные квадратные дольки?

Сколько нужно сделать разрезов плоскостями так, чтобы из куба с ребром в 3 дм получить кубики с ребром в 1 дм?

Дан прямоугольный треугольник. Как следует разрезать его на две такие части, чтобы из них (не переворачивая обратной стороной) можно было сложить треугольник, симметричный данному относительно одного из его катетов?

Дан треугольник ABC. Как следует разрезать его на части так, чтобы из них (не переворачивая обратной стороной) можно было сложить треугольник, симметричный данному относительно основания АС?

Разрежьте квадрат на части, как показано на рисунке 49, перемешайте их и затем сложите: 1) такой же квадрат; 2) прямоугольный равнобедренный треугольник; 3) прямоугольник, отличный от квадрата; 4) параллелограмм, отличный от прямоугольника; 5) трапецию.

Окрашенный куб с ребром в 10 см распилили на кубики с ромбом в 1 см. Сколько получится кубиков: 1) с одной окрашенной гранью; 2) с двумя; 3) с тремя; 4) совсем не имеющих окрашенных граней?

Читайте так же:
Коронки по металлу на дрель их разновидности и конструктивные характеристики

Как разрезать на две части прямоугольник со сторонами 16 и 9 см так, чтобы из них можно было сложить квадрат? (Разрез может быть в виде ломаной косильной лески.)

Скопируйте каждую из фигур рисунка 50 и разрежьте ее на 4 равные части.

1) Как данный прямоугольный треугольник разрезать на остроугольные треугольники? 2) Как данный произвольный треугольник разрезать на остроугольные треугольники?

Внутри выпуклого стоугольника отмечены 10 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Многоугольник разрезается на треугольники так, что вершинами их служат все вершины данного стоугольника и все данные десять точек. Сколько получится треугольников?

Олимпиадные, логические и занимательные задачи по математике. Задачи на разрезание

В ниманию репетиторов по математике и преподавателей различных факультативов и кружков предлагается подборка занимательных и развивающих геометрических задач на разрезание. Цель использования репетитором таких задач на своих занятиях — не только заинтересовать ученика интересными и эффектными комбинациями клеток и фигур, но и сформировать у него чувство линий, углов и форм. Комплект задач ориентирован главным образом на детей 4-6 классов, хотя не исключено его использование даже со старшеклассниками. Упражнения требуют от учащихся высокой и устройчивой концентрации внимания и прекрасно подходят для развития и тренировки зрительной памяти. Рекомендуется для репетиторов математики, занимающихся подготовкой учеников к вступительным экзаменам в математические школы и классы, предъявляющие особые требования к уровню самостоятельного мышления и творческим способностям ребенка. Уровень задач соответсвует уровню вступительных олимпиад в лицей «вторая школа» (вторая математическая школа), малому Мехмату МГУ, Курчатовской школе и др.

Примечание репетитора по математике:
В некоторых решения задач, которые вы можете посмотреть щелкнув на соответствующем указателе, указан лишь один из возможных примеров разрезания. Я вполне допускаю, что у вас может получиться какая-то другая верная комбинация — не надо этого бояться. Проверьте тщательно решение вашего мылыша и если оно удовлетворяет условию, то смело принимайтесь за следующую задачу.

1) Попробуйте разрезать изображенную на рисунке фигуру на 3 равные по форме части:

Репетитор по математике для 5 класса. Олимпиадные задачи на разрезания. Задача 1
Подсказка репетитора по математике: Маленькие фигуры очень похожи на букву Т
Посмотреть решение репетитора по математике

2) Разрежьте теперь эту фигуру на 4 равные по форме части:

Репетитор по математике 5 класс. Олимпиадные задачи на разрезание. Задача 2
Подсказка репетитора по математике: Легко догадаться, что маленькие фигурки будут состоять из 3 клеточек, а фигур из трех клеточек не так много. Их всего два вида: уголок и прямоугольник 1×3.
Посмотреть решение репетитора по математике:

3) Разрежьте данную фигуру на 5 равных по форме частей:

Репетитор по математике 5 класс. Олимпиадные задачи на разрезание. Задача 3
Подсказка репетитора по математике:
Найдите количество клеточек, из которых состоит каждая такая фигура. Эти фигурки, похожи на букву Г.
Посмотреть решение репетитора по математике

4) А теперь нужно разрезать фигуру из десяти клеток на 4 неравных друг другу прямоугольника (или квадрата).

Репетитор по математике 5 класс. Олимпиадные задачи на разрезание. Задача 4
Указание репетитора по математике: Выделите какой-нибудь прямоугольник, а затем в оставшиеся клетки попробуйте вписать еще три. Если не получается, то смените первый прямоугольник и попробуйте еще раз.
Посмотреть решение репетитора по математкие

5) Задача усложняется: нужно фигуру разрезать на 4 разных по форме фигурки (не обязательно на прямоугольники).

Репетитор по математике 5 класс. Олимпиадные задачи на разрезание. Задача 5
Подсказка репетитора по математике: нарисуйте сначала отдельно все виды фигур разной формы (их будет больше четырех) и повторите метод перебора вариантов как в предыдущей задаче.
Посмотреть решение репетитора по математике:

Читайте так же:
Как разрезать ламинат без лобзика и болгарки

6) Разрежьте эту фигуру на 5 фигур из четырех клеток разной формы таким образом, чтобы в каждой их них была закрашена только одна зеленая клетка.

Репетитор по математике 5 класс. Олимпиадные задачи на разрезание. Задача 6
Подсказка репетитора по математике: Попробуйте начать разрезание с верхнего края данной фигуры и вы сразу поймете, как действовать.
Посмотреть решение репетитора по математике:

7) По мотивам предыдущей задачи. Найдите сколько всего имеется фигур различной формы, состоящих ровно из четырех клеток? Фигуры можно крутить, поворачивать, но нельзя поднимать состола (с его поверхности), на котором она лежит. То есть две приведенные фигурки не будут считаться равными, так как они не могут получаться друг из друга при помощи поворота.

Репетитор по математике 5 класс. Одимпиадные задачи на разрезание. Задача 7
Подсказка репетитора по математике: Изучите решение предыдущей задачи и постарайтесь представить себе различные положения этих фигур при повороте. Нетрудно догадаться, что ответом в нашей задаче будет число 5 или больше. (На самом деле даже больше шести). Всего существует 7 типов описанных фигур.
Посмотреть решение репетитора по математике

8) Разрежьте квадрат из 16 клеток на 4 равные по форме части так, чтобы в каждой из четырех частей была ровно одна зеленая клетка.

Репетитор по математике 5 класс. Одимпиадные задачи на разрезание. Задача 8
Подсказка репетитора по математике: Вид маленьких фигурок не квадрат и не прямоугольник, и даже не уголок из четырех клеток. Так на какие же фигуры надо попытаться разрезать?
Посмотреть решение репетитора по математике

9) Изображенную фигуру разрежьте на две части таким образом, чтобы из полученных частей можно было сложить квадрат.

Репетитор по математике 5 класс. Олимпиадные задачи на разрезание. Задача 9
Подсказка репетитора по математкие: Всего в фигуре 16 клеток — значит, квадрат будет размеро 4×4. И еще как-то нужно заполнить окошко в середине. Как это сделать? Может быть каким-нибудь сдвигом? Тогда поскольку длина прямоугольника равна нечетном учислу клеток, разрезание нужно провести не вертикальным разрезом, а по ломаной линии. Так, чтобы верхняя часть отрезалась с одной стороны от средние клетки, а нижняя с другой.
Посмотреть решение репетитора по математкие

10) Разрежьте прямоугольник размером 4×9 на две части с таким расчетом, чтобы в результате из них можно было сложить квадрат.

Репетитор по математике 5 класс. Олимпиадные задачи на разрезание. Задача 10
Подсказка репетитора по математике: Всего в прямоугольнике 36 клеток. Поэтому квадрат получится размером 6×6. Так ка кдлинная сторона состоит из девяти клеток, то три из них нужно отрезать. Как дальше пойдет этот разрез?
Посмотреть решение репетитора по математике

11) Крестик из пяти клеток, показанный на рисунке требуется разрезать (можно резать сами клетки) на такие части, из которых можно было бы сложить квадрат.

Подсказка репетитора по математике: Понятно, что как бы мы по линиям клеточек не резали — квадрат не получим, так как клеток всего 5. Это задача единственная, в которой разрешается резать не по клеткам. Однако их все равно хорошо бы оставить в виде ориентира. например, стоит заметить, что нам как-то нужно убрать углубления, которые у нас есть — а именно, во внутренних углах нашего креста. Как бы это сделать? Например, срезая какие-то выпирающие треугольники из внешних уголков креста.
Посмотреть решение репетитора по математике:
Комментарий к решению: разрежьте так ка кпоказано на рисунке и вставьте голубые треугольники в пустые области, показанные фиолетовыми треугольниками.

Колпаков Александр Николаевич. Репетитор по математике Москва, Строгино.

Классный сайт! Спасибо за самые интересные во всём интернете задачи с ответами!

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию